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Substitutionsregel

  • Substitutionsregel (7:18 Minuten)
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Einleitung

Die Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen.

Dabei wird durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel.

Unbestimmtes Integral

Beispiel

$$ \int x \cos(x^2) ~ \mathrm{d}x $$
\begin{array}{lcrcl} t = x^2 & \qquad & \dfrac{ \mathrm{d}t }{ \mathrm{d}x } &=& 2 \,\, x \\[4pt] & & x \,\, \mathrm{d}x &=& \dfrac{1}{2} \mathrm{d}t \\[4pt] \end{array} $$ \int \cos(t) \, \dfrac{1}{2} ~ \mathrm{d}t $$ $$ ~=~ \dfrac{1}{2} \cdot \int \cos(t) ~ \mathrm{d}t ~=~ \frac{1}{2} (\sin(t) + c') ~=~ \frac{1}{2}\sin(x^2) + c $$

Bestimmtes Integral

Beispiel 1

$$ \int_{0}^\pi \sin(2x) \,\mathrm{d}x $$
\begin{array}{lcrcl} t = 2x & \qquad & \dfrac{ \mathrm{d}t }{ \mathrm{d}x } &=& 2 \\[4pt] & & \mathrm{d}x &=& \dfrac{1}{2} \mathrm{d}t \\[4pt] \end{array}

$$ t(0) = 0 \qquad t(\pi) = 2 \,\, \pi $$
$$ \int_{0}^{2\pi} \sin(t) \, \dfrac{1}{2} ~ \mathrm{d}t $$ $$ ~=~ \dfrac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2\pi} \sin(t) ~ \mathrm{d}t ~=~ \frac{1}{2} [ -\cos(t) ]_0^{2\pi} ~=~ \frac{1}{2} (-\cos(2\pi)+\cos(0)) ~=~ 0 $$

Beispiel 2

$$ \int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,\mathrm{d}x $$
\begin{array}{lcrcl} t = x^2+1 & \qquad & \dfrac{ \mathrm{d}t }{ \mathrm{d}x } &=& 2 \,\, x \\[4pt] & & x \,\, \mathrm{d}x &=& \dfrac{1}{2} \mathrm{d}t \\[4pt] \end{array}

$$ t(0) = 1 \qquad t(2) = 5 $$
$$ \int_1^5 \cos(t) \, \dfrac{1}{2} ~ \mathrm{d}t $$ $$ ~=~ \dfrac{1}{2} \cdot \int_1^5 \cos(t) ~ \mathrm{d}t ~=~ \frac{1}{2} [ \sin(t) ]_1^5 ~=~ \frac{1}{2} (\sin(5)-\sin(1)) ~\approx~ -0,900 $$

Quellen

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