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Adjungierte und konjugierte Matrix

Einleitung

Die konjugierte Matrix \( \overline A \) einer komplexen Matrix \( A \) erhält man, wenn man alle Elemente von \( A \) komplex konjugiert.

$$ \rm A = \begin{bmatrix} i & 2 & 3 + i \\ 5 + 3i & -i & 5i \\ \end{bmatrix} \qquad \overline A = \begin{bmatrix} -i & 2 & 3 - i \\ 5 - 3i & i & -5i \\ \end{bmatrix} $$

Die adjungierte Matrix \( A^\ast \) einer komplexen Matrix \( A \) ist die transponierte Matrix von der konjugierten Matrix von \( A \).

$$ \rm A = \begin{bmatrix} i & 2 & 3 + i \\ 5 + 3i & -i & 5i \\ \end{bmatrix} \qquad A^\ast = {\overline A}^T = \begin{bmatrix} -i & 2 & 3 - i \\ 5 - 3i & i & -5i \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -i & 5-3i \\ 2 & i \\ 3-i & -5i \end{bmatrix} $$

Reelle Matrizen

Bei reellen Matrizen entspricht die konjugierte Matrix \( \overline A \) der Matrix \( A \) selbst, da sich die einzelnen Elemente durch komplexe Konjugation nicht ändern.

$$ \overline A = A $$

Bei reellen Matrizen entspricht die adjugierte Matrix \( A^\ast \) der transponierten Matrix \( A^T \).

$$ A^\ast = A^T $$

Quellen

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