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Determinante

  • Determinante, 2x2 Matrix (1:19 Minuten)
  • Determinante, 3x3 Matrix, Regel von Sarrus (5:03 Minuten)
  • Determinante, 4x4 Matrix, Laplacescher Entwicklungssatz (6:07 Minuten)
  • Determinante mit dem Taschenrechner berechnen (fx-991DE Plus) (2:51 Minuten)
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Einleitung

Zu jeder quadratischen Matrix kann man die Determinante berechnen. Diese ist immer ein Skalar.

Bezug zu Gleichungssystemen

Jedes lineare Gleichungssystem besitzt eine Koeffizientenmatrix. Ist die Determinante dieser Matrix ungleich null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Man kann die Lösung dann mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben.

Invertierbarkeit einer Matrix

Eine quadratische Matrix ist nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Determinante kleiner Matrizen

Bei kleinen Matrizen kann man die Determinante über die Haupt- und Nebendiagonalen berechnen. Die Hauptdiagonalen (rot) laufen von oben links nach unten rechts, die Nebendiagonalen (blau) von unten links nach oben rechts. Die Determinante erhält man durch das Subtrahieren der Nebendiagonalen von den Hauptdiagonalen. Dabei werden die Komponenten einer Diagonalen miteinander multipliziert.

2x2 Matrix

Die Determinante einer 2x2-Matrix lässt sich einfach berechnen.

3x3 Matrix (Regel von Sarrus)

Bei einer 3x3-Matrix ist es hilfreich, die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal neben die Matrix zu schreiben.

Determinante größerer Matrizen (Laplacescher Entwicklungssatz)

Determinanten größerer Matrizen lassen sich über den Laplaceschen Entwicklungssatz herleiten. Dabei wird eine Zeile oder Spalte ausgewählt, entlang welcher die Formel "entwickelt" wird.


$$ \det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij} $$ (Entwicklung nach der \( j \)-ten Spalte)
$$ \det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij} $$ (Entwicklung nach der \( i \)-ten Zeile)

\( A_{ij} \) ist die Untermatrix von \( A \), die durch Streichen der \( i \)-ten Zeile und \( j \)-ten Spalte entsteht.

Bei diesem Verfahren wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Daher kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt.


3x3-Matrix entlang 1.Zeile



4x4-Matrix entlang 2.Spalte



Die Rechenarbeit reduziert sich, wenn man eine Zeile bzw. Spalte mit vielen Nullen wählt, da dann die Berechnung einiger Untermatrizen wegfällt.


Quellen

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