Fibonacci-Folge

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Einleitung

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen, bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition ihrer beiden vorherigen Zahlen ergibt:

$$ 0,\enspace\,\,\, 1,\enspace\,\,\, 1,\enspace\,\,\, 2,\enspace\,\,\, 3,\enspace\,\,\, 5,\enspace\,\,\, 8,\enspace\,\,\, 13,\enspace\,\,\, \dots $$

Leonardo Fibonacci beschrieb mit dieser Folge im Jahre 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation.

Rekursive Formel

Man kann die Fibonacci-Folge mit Hilfe des folgenden rekursiven Bildungsgesetzes und den Anfangswerten \( f_0 \) und \( f_1\) berechnen.

$$ f_0 = 0 \qquad \text{und} \qquad f_1 = 1 $$

Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger:

$$ f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \qquad \text{für} \qquad n \geq 2 $$

Tabelle

In der folgenden Tabelle befinden sich die Fibonacci-Zahlen für \( n \leq 50 \):

\( n \) \( f_n \)
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1.597
18 2.584
19 4.181
20 6.765
21 10.946
22 17.711
23 28.657
24 46.368
25 75.025
26 121.393
27 196.418
28 317.811
29 514.229
30 832.040
31 1.346.269
32 2.178.309
33 3.524.578
34 5.702.887
35 9.227.465
36 14.930.352
37 24.157.817
38 39.088.169
39 63.245.986
40 102.334.155
41 165.580.141
42 267.914.296
43 433.494.437
44 701.408.733
45 1.134.903.170
46 1.836.311.903
47 2.971.215.073
48 4.807.526.976
49 7.778.742.049
50 12.586.269.025

Quellen

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