Ganzrationale Funktion

Einleitung

Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten.

$$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i \qquad n \in \mathbb{N} $$ \( a_0, \dots, a_n \) = Koeffizienten
\( a_n \) = Leitkoeffizient, \( a_0 \) = Absolutglied

Grad \( n \)

Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist gleich dem höchsten Exponenten.

Beispiele

Grad \( n = 2 \) \( -2 \cdot x^2 + 3 \cdot x + 4 \)
Grad \( n = 2 \) \( 2 \cdot x^2 - 2 \)
Grad \( n = 3 \) \( x^3 + 2 \cdot x - 1 \)
Grad \( n = 4 \) \( x^4 - 2 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2 \)
Grad \( n = 5 \) \( 2 \cdot x^5 + x^2 + 2 \)

Spezialfälle

Grad \( n = 0 \) \( a_0 \) Konstante Funktion
Grad \( n = 1 \) \( a_1 \cdot x + a_0 \) Lineare Funktion
Grad \( n = 2 \) \( a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \) Quadratische Funktion
Grad \( n = 3 \) \( a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \) Kubische Funktion

Funktionsgraph

Der Graph einer ganzrationalen Funktion:

  • ?  

Zufällige ganzrationale Funktion zeichnen


Nullstellen

Eine ganzrationale Funktion hat maximal so viele Nullstellen wie ihr Grad.

Für \( n \leq 3 \) wird die Bestimmung der Nullstellen in den jeweiligen Artikeln beschrieben (s.o. Spezialfälle).

Für \( n = 4 \) kann die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt werden. Man erhält eine quartische Gleichung, die gelöst werden kann.

Für größere \( n \) müssen die Nullstellen meist geraten werden. Dies geschieht am besten mit dem Horner-Schema. Da alle Nullstellen einer ganzrationalen Funktion entweder Teiler des Leitkoeffizienten \( a_n \) oder des Absolutgliedes \( a_0 \) sein müssen, werden die möglichen Nullstellen schon recht gut eingegrenzt.

Beispiel

Extrempunkte

Um die Extrempunkte einer quadratischen Funktion zu bestimmen, benötigt man die erste und zweite Ableitung. Dann kann man folgendermaßen vorgehen.

Notwendige Bedingung

$$ f\,'(x) = 0 $$

Hinreichende Bedingung

$$ f''(x) \neq 0 $$

Symmetrie

Gerade Funktion

Wenn alle Exponenten gerade Zahlen sind, nennt man die ganzrationale Funktion gerade. Sie ist dann achsensymmetrisch zur Y-Achse. Es gilt:

$$ f(-x) = f(x) $$

Ungerade Funktion

Wenn alle Exponenten ungerade Zahlen sind, nennt man die ganzrationale Funktion ungerade. Sie ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt:

$$ f(-x) = -f(x) $$

Symmetrie zu anderen Achsen / Punkten

Wenn es sowohl gerade als auch ungerade Exponenten in der Funktionsgleichung auf, so hat der Graph keine einfache Symmetrie. Allerdings kann der Graph trotzdem symmetrisch zu anderen Achsen oder Punkten sein:

$$ f(x_0+x) = f(x_0-x) $$
Achsensymmetrie zur Geraden mit der Gleichung \( x = x_0 \)

$$ f(x_0+x) - y_0 = -f(x_0-x) + y_0 $$
Punktsymmetrie zum Punkt \( P( x_0 | \,\, y_0 ) \)

Quellen

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