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Cardanische Formeln

Einleitung

Die cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung von Gleichungen 3. Grades der folgenden Form:

$$ Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0 $$

Die Formeln wurden 1545 von dem Mathematiker Gerolamo Cardano in dem Buch Ars magna veröffentlicht.

Reduzierung der Gleichung 3. Grades

Zunächst wird die allgemeine Gleichung 3. Grades durch \( A \) geteilt.

\begin{aligned} Ax^3 + Bx^2 + Cx + D &= 0 \qquad | : A \\[4pt] x^3 + \tfrac{B}{A} x^2 + \tfrac{C}{A} x + \tfrac{D}{A} &= 0 \end{aligned}

Mit \( a = \tfrac{B}{A} \), \( b = \tfrac{C}{A} \) und \( c = \tfrac{D}{A} \) erhält man die Normalform.

$$ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $$

Mit Hilfe der Substitution \( x = z-\tfrac{a}3 \) wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt und man erhält die reduzierte Form:

$$ z^3 +pz + q=0, $$ $$ p= b - \frac{a^2}3 \qquad q= \frac {2a^3}{27} - \frac{ab}3 + c $$

Die reduzierte Form wird nun mit Hilfe der Cardanischen Formel aufgelöst und anschließend durch Rücksubstitution die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt.


Quellen

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