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Einführung zu Matrizen

Einleitung

Unter einer Matrix versteht man eine rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten (z.B. Zahlen). Der Plural von Matrix ist Matrizen.

Matrizen werden beispielsweise dazu benutzt, lineare Abbildungen (z.B. Funktionen) darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben.

Für Matrizen gelten besondere Rechengesetze.

Notation

Elemente einer Matrix

Die einzelnen Elemente \( a_{ij} \) einer Matrix \( A \) tragen als Index ihre Zeilennummer \( i \) und Spaltennummer \( j \).

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -9 & 2 \\ 1 & 5 & -7 \end{bmatrix} $$ $$ a_{11} = 2 \qquad a_{21} = -3 \qquad a_{31} = 1 \qquad a_{33} = -7 $$

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix (auch Identitätsmatrix) ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente sind null.

$$ E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$

Der Index \( n \) gibt die Größe der Einheitsmatrix an. Im folgenden sind ein paar kleinere Einheitsmatrizen aufgelistet:

$$ E_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \qquad E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Neutrales Element der Matrizenmultiplikation

Multipliziert man eine Matrix \( A \) mit der Einheitsmatrix so erhält man wieder die Ausgangsmatrix \( A \). Daher ist die Einheitsmatrix das neutrale Element unter der Matrizenmultiplikation.


$$ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -9 & 2 \\ 1 & 5 & -7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -9 & 2 \\ 1 & 5 & -7 \end{bmatrix} $$

Matrizen und Gleichungssysteme

Man kann ein lineares Gleichungsystem in einer Matrix darstellen, indem man die Koeffizienten der einzelnen Gleichungen in eine Matrix schreibt.

$$ \begin{matrix} 6 x_1 & + & 3 x_2 & + & 4 x_3 & = & 1 \\ 2 x_1 & + & 8 x_2 & + & 5 x_3 & = & -1 \\ 1 x_1 & & & - & 2 x_3 & = & 6 \end{matrix} \qquad\qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 8 & 5 & -1 \\ 1 & 0 & -2 & 6 \end{array}\right] $$

Stufenform, Treppenform

In der Stufenform bzw. Treppenform verringert sich in jeder Zeile die Zahl der Unbekannten um mindestens eine. Jedes Gleichungssystem kann durch Anwendung des gaußschen Eliminationsverfahrens in diese Form gebracht werden.

$$ \begin{matrix} 6 x_1 & + & 3 x_2 & + & 4 x_3 & = & 1 \\ & & & - & 2 x_3 & = & 6 \end{matrix} \qquad\qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 6 \end{array}\right] $$

Dreiecksform

Die Dreiecksform ist ein Sonderfall der Stufenform. Dabei hat jede Zeile genau eine Unbekannte weniger als die vorhergehende. D.h. alle Koeffizienten \( a_{ii} \) der Hauptdiagonale sind von null verschieden.

$$ \begin{matrix} 6 x_1 & + & 3 x_2 & + & 4 x_3 & = & 1 \\ & & 8 x_2 & + & 5 x_3 & = & -1 \\ & & & - & 2 x_3 & = & 6 \end{matrix} \qquad\qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 8 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 6 \end{array}\right] $$

Reduzierte Stufenform

Die reduzierte Stufenform ist ein Sonderfall der Stufenform. Bei ihr treten die jeweils ersten Unbekannten jeder Zeile nur ein einziges Mal auf und haben den Koeffizienten \( 1 \). Man kann beliebige lineare Gleichungssysteme bzw. Matrizen durch Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus in diese Form bringen.

$$ \begin{matrix} x_1 & + & 3 x_2 & + & 4 x_3 & = & 1 \\ & & x_2 & + & 5 x_3 & = & -1 \\ & & & & x_3 & = & 6 \end{matrix} \qquad\qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{array}\right] $$

Quellen

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