Inverse Matrix

  • Inverse Matrix, Gauß-Jordan (4:08 Minuten)
  • Inverse Matrix, Cramer'sche Regel (5:21 Minuten)
  • Inverse Matrix mit dem Taschenrechner berechnen (fx-991DE Plus) (2:16 Minuten)
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Einleitung

Die inverse Matrix \( A^{-1} \) einer quadratischen Matrix \( A \) gilt:

$$ A \cdot A^{-1} = I \qquad \text{und} \qquad A^{-1} \cdot A = I $$

Eine quadratische Matrix ist nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Es gibt daher nicht zu jeder Matrix eine inverse Matrix.

Die inverse Matrix wird auch reguläre oder nichtsinguläre Matrix genannt.

Bestimmung mit dem Gauß-Jordan Algorithmus

Möchte man zu einer Matrix \( A \) die inverse Matrix \( A^{-1} \) bestimmen, so muss man \( A \) zunächst mit der Einheitsmatrix erweitern.

$$ A = \left[\begin{array}{ccc} \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right] \qquad\qquad E_3 = \left[\begin{array}{ccc} \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$ $$ \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Die erweiterte Matrix kann man mit dem Gauß-Jordan Algorithmus auf reduzierte Stufenform bringen. Zur besseren Übersicht werden Einträge der Matrix die gleich null sind Leer dargestellt.

$$ \begin{aligned} \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    |    \rm II - 4 \cdot I \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ & -2 & -3 & -4 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    | \\    |    \rm III - 9 \cdot I \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ & -2 & -3 & -4 & 1 & 0 \\ & -6 & -8 & -9 & 0 & 1 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    | \\    |    \rm III - 3 \cdot II \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ & -2 & -3 & -4 & 1 & 0 \\ & & 1 & 3 & -3 & 1 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    |    \rm : (-2) \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ & 1 & 3/2 & 2 & -1/2 & 0 \\ & & 1 & 3 & -3 & 1 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    |    \rm I - 1 \cdot III \\    |    \rm II - 3/2 \cdot III \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & & -2 & 3 & -1 \\ & 1 & & -5/2 & 4 & -3/2 \\ & & 1 & 3 & -3 & 1 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    |    \rm I - 1 \cdot II \\    | \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|ccc} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & & & 1/2 & -1 & 1/2 \\ & 1 & & -5/2 & 4 & -3/2 \\ & & 1 & 3 & -3 & 1 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    | \\    | \end{array} \end{aligned} $$

Schließlich befindet sich auf der linken Seite der Matrix die Einheitsmatrix. Die inverse Matrix kann dann von der rechten Seite abgelesen werden:

$$ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \qquad & \qquad & \qquad \\ 1/2 & -1 & 1/2 \\ -5/2 & 4 & -3/2 \\ 3 & -3 & 1 \end{array}\right] = \dfrac{1}{2} \cdot \left[\begin{array}{ccc} \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & -2 & 1 \\ -5 & 8 & -3 \\ 6 & -6 & 2 \end{array}\right] $$

Bestimmung über die Adjunkte

Die inverse Matrix lässt sich auch mit Hilfe der Adjunkten der Matrix bestimmen:

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj} (A) $$

Da die Adjunkte für \( 2x2 \)-Matrizen leicht berechenbar ist, lässt sich die inverse Matrix mit dieser Formel gut berechnen:

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj} (A) = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{bmatrix} $$

Quellen

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