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Kofaktormatrix und Adjunkte

Einleitung

Um die Bestimmung der Kofaktormatrix und der Adjunkten besser zu erklären wird hier zunächst auf die Unterdeterminanten einer Matrix eingegangen. Aus diesen werden die Matrizen dann gebildet.

Unterdeterminante

Die Unterdeterminante \( M_{ij} \) einer Matrix \( A \) ist die Determinante von der Matrix, die entsteht, wenn man die \( i \)-te Zeile und die \( j \)-te Spalte von \( A \) entfernt.

\( 2x2 \)-Matrix

Eine \( 2x2 \)-Matrix hat 4 Unterdeterminanten.

$$ A = \begin{bmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{bmatrix} $$ $$ M_{11} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d \end{vmatrix} \qquad M_{12} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c \end{vmatrix} \qquad M_{21} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b \end{vmatrix} \qquad M_{22} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a \end{vmatrix} $$

\( 3x3 \)-Matrix

Eine \( 3x3 \)-Matrix hat 9 Unterdeterminanten.

$$ A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix} $$ $$ M_{11} = \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} \enspace\enspace M_{12} = \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} \enspace\enspace M_{13} = \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \enspace\enspace \dots $$

Kofaktormatrix

Die Kofaktormatrix \( \rm Cof(A) \) einer Matrix \( A \) enthält alle Unterdeterminanten von \( A \). Dabei wird allen Elementen, deren Summe aus Zeilennummer \( i \) und Spaltennummer \( j \) ungerade ist, ein negatives Vorzeichen hinzugefügt.

\( 2x2 \)-Matrix

Die Kofaktormatrix einer \( 2x2 \)-Matrix:

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
$$ \mathrm{Cof}(A) = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} $$

\( 3x3 \)-Matrix

Die Kofaktormatrix einer \( 3x3 \)-Matrix:

$$ A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix} $$
$$ \begin{align} \mathrm{Cof}(A) & = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{bmatrix} \\[12pt] & = \begin{bmatrix} \quad\det\begin{bmatrix}e & f\\ h & i\end{bmatrix} & - \det\begin{bmatrix}d & f\\ g & i\end{bmatrix} & \quad\det\begin{bmatrix}d & e\\ g & h\end{bmatrix} \\ - \det\begin{bmatrix}b & c\\ h & i\end{bmatrix} & \quad\det\begin{bmatrix}a & c\\ g & i\end{bmatrix} & - \det\begin{bmatrix}a & b\\ g & h\end{bmatrix} \\ \quad\det\begin{bmatrix}b & c\\ e & f\end{bmatrix} & - \det\begin{bmatrix}a & c\\ d & f\end{bmatrix} & \quad\det\begin{bmatrix}a & b\\ d & e\end{bmatrix} \end{bmatrix}\\[12pt] & = \begin{bmatrix} ei - fh & fg - di & dh - eg \\ ch - bi & ai - cg & bg - ah \\ bf - ce & cd - af & ae - bd \end{bmatrix} \end{align} $$

Adjunkte

Als Adjunkte \( \rm adj(A) \) (auch komplementäre Matrix) wird die Transponierte der Kofaktormatrix von \( A \) bezeichnet.

\( 2x2 \)-Matrix

Die Adjunkte einer \( 2x2 \)-Matrix:

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
$$ \mathrm{adj}(A) = \mathrm{Cof}(A)^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$

\( 3x3 \)-Matrix

Die Adjunkte einer \( 3x3 \)-Matrix:

$$ A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix} $$
$$ \begin{align} \mathrm{adj}(A) = \mathrm{Cof}(A)^T = \begin{bmatrix} ei - fh & fg - di & dh - eg \\ ch - bi & ai - cg & bg - ah \\ bf - ce & cd - af & ae - bd \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{bmatrix} \end{align} $$

Quellen

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