Charakteristisches Polynom

Einleitung

Das charakteristische Polynom \( p_A(\lambda) \) einer quadratischen Matrix \( A \) gibt Auskunft über einige Eigenschaften der Matrix. Es wird außerdem zum Berechnen von Eigenwerten und -vektoren verwendet.

Für das charakteristische Polynom gilt folgende Formel:

$$ p_A(\lambda) = \det(\lambda \cdot E - A) $$ \( E \) = Einheitsmatrix, \( A \) = quadratische Matrix

Beispiele

Beispiel 1: \(2x2\)-Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} $$
$$ \begin{aligned} p_A(\lambda) &= \det(\lambda \cdot E - A) \\[8pt] &= \det \left( \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \right)\\[8pt] &= \begin{vmatrix} \lambda - 2 & 0 \\ 2 & \lambda - 1 \end{vmatrix}\\[8pt] &= (\lambda - 2) \cdot (\lambda - 1) - 2 \cdot 0 \\[8pt] &= (\lambda - 2) (\lambda - 1) \\[8pt] &= \lambda^2 -3 \lambda + 2 \end{aligned} $$

Beispiel 2: \(3x3\)-Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} $$
$$ \begin{aligned} p_A(\lambda) &= \det(\lambda \cdot E - A) \\[8pt] &= \det \left( \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \right)\\[8pt] &= \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & -1 \\ -2 & \lambda-2 & -1 \\ -4 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix}\\[8pt] &= (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 1) - 4 - 4(\lambda - 2) - 2(\lambda - 1) \\[8pt] &= (\lambda^2 -3 \lambda + 2)(\lambda - 1) - 4 - 4 \lambda + 8 - 2 \lambda + 2 \\[8pt] &= (\lambda^3 -3 \lambda^2 + 2 \lambda - \lambda^2 + 3 \lambda - 2) - 6 \lambda + 6 \\[8pt] &= \lambda^3 -4 \lambda^2 - \lambda + 4 \end{aligned} $$

Quellen

Abi-Mathe © 2014, Partnerprojekt: Brennholz Kaufen 24