p-q-Formel

  • p-q-Formel (8:32 Minuten)
  • p-q-Formel, mit Herleitung (6:11 Minuten)
  • Quadratische Gleichung mit dem Taschenrechner lösen (fx-991DE Plus) (3:43 Minuten)
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Einleitung

Die p-q-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen der folgenden Form:

$$ a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 $$

Um die Lösungen zu erhalten, teilt man zunächst durch den Koeffizienten vor dem \( x^2 \) also durch \( a \).

$$ x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{c}{a} = 0 $$

Der Koeffizient vor dem \( x \) wird nun als \( p \) bezeichnet und die konstante Zahl als \( q \).

$$ p = \dfrac{b}{a} \qquad q = \dfrac{c}{a} $$

Damit ergeben sich nach der p-q-Formel folgende Lösungen:

$$ x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q} $$

Eine Alternative zur p-q-Formel ist die Mitternachtsformel.

Beispiele

Die p-q-Formel wird z.B. benötigt, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen.


\begin{aligned} f(x) = 2 \cdot x^2 + 6 \cdot x + 4 &= 0 \qquad | : 2 \\ \\ x^2 + 3 \cdot x + 2 &= 0 \\ \\ \end{aligned} $$ p = 3 \qquad q = 2 $$
\begin{aligned} x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q} \\ \\ x_{1,2} = -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 - 2} \\ \\ x_{1,2} = -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{9}{4} - 2} \\ \\ x_{1,2} = -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{9}{4} - \dfrac{8}{4}} \\ \\ x_{1,2} = -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{1}{4} } \\ \\ \end{aligned}
$$ x_1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = -1 \qquad x_2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = -2 $$

Herleitung

Zunächst eine Hilfsrechnung:

\begin{aligned} \\ \left( x + \dfrac{p}{2} \right)^2 &= x^2 + p \cdot x + \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 \\ \\ \left( x + \dfrac{p}{2} \right)^2 - \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 &= x^2 + p \cdot x \\ \\ \end{aligned}

Jetzt kann man die p-q-Formel mittels quadratischer Ergänzung herleiten:

\begin{aligned} \\ x^2 + p \cdot x + q &= 0 \\ \\ \left( x + \dfrac{p}{2} \right)^2 - \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 + q &= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad | + \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q \\ \\ \left( x + \dfrac{p}{2} \right)^2 &= \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q \qquad\qquad\qquad\qquad \,\,\, | \,\, _ \,\, \text{Wurzel ziehen} \\ \\ x + \dfrac{p}{2} &= \pm \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q } \qquad\qquad\qquad | - \dfrac{p}{2} \\ \\ x_{1,2} &= -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q } \\ \\ \end{aligned}

Komplexe Lösungen

Ist der Term unter der Wurzel negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Es ergeben sich damit folgende komplexe Lösungen:

$$ x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt{ q - \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 } $$


Quellen

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