Kettenregel

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Einleitung

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Die Kettenregel ist eine Ableitungsregel, die verwendet wird, wenn eine Funktion \( f \) aus mehreren zusammengesetzten Funktionen besteht.

$$ f(x) = u( \,\, v(x) \,\, ) $$

Die äußere Funktion \( u \) und die innere Funktion \( v \) sind ineinander verschachtelt.

Für die Ableitung von \( f \) gilt dann Äußere mal innere Ableitung:

$$ f\,'(x) = u\,'( \, v(x) \, ) \, \cdot \, v\,'(x) $$

Beispiele

Beispiel 1

$$ f(x) = sin(x^2) $$
\begin{array}{rclcrcl} u(v) &=& sin(v) & & v(x) &=& x^2 \\[4pt] u\,'(v) &=& cos(v) & & v\,'(x) &=& 2 \,\, x \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'( \, v(x) \, ) \, \cdot \, v\,'(x) \\[4pt] &= cos( \, v(x) \, ) \cdot 2 \,\, x \\[4pt] &= cos( \, x^2 \, ) \cdot 2 \,\, x \end{aligned}

Beispiel 3

$$ f(x) = (3 \,\, x^2 + 2 \,\, x)^2 $$
\begin{array}{rclcrcl} u(v) &=& v^2 & & v(x) &=& 3 \,\, x^2 + 2 \,\, x \\[4pt] u\,'(v) &=& 2 \,\, v & & v\,'(x) &=& 6 \,\, x + 2 \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'( \, v(x) \, ) \, \cdot \, v\,'(x) \\[4pt] &= 2 \,\, v(x) \cdot (6 \,\, x + 2) \\[4pt] &= 2 \,\, (3 \,\, x^2 + 2 \,\, x) \cdot (6 \,\, x + 2) \\[4pt] &= (6 \,\, x^2 + 4 \,\, x) \cdot (6 \,\, x + 2) \\[4pt] &= 36 \,\, x^3 + 24 \,\, x^2 + 12 \,\, x^2 + 8 \,\, x \\[4pt] &= 36 \,\, x^3 + 36 \,\, x^2 + 8 \,\, x \end{aligned}

Beispiel 2

$$ f(x) = (2 \,\, x + 3)^5 $$
\begin{array}{rclcrcl} u(v) &=& v^5 & & v(x) &=& 2 \,\, x + 3 \\[4pt] u\,'(v) &=& 5 \,\, v^4 & & v\,'(x) &=& 2 \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'( \, v(x) \, ) \, \cdot \, v\,'(x) \\[4pt] &= 5 \,\, v(x)^4 \cdot 2 \\[4pt] &= 5 \,\, ( 2 \,\, x + 3 )^4 \cdot 2 \\[4pt] &= 10 \,\, ( 2 \,\, x + 3 )^4 \end{aligned}

Beispiel 4

$$ f(x) = -cos(5 \,\, x) $$
\begin{array}{rclcrcl} u(v) &=& -cos(v) & & v(x) &=& 5 \,\, x \\[4pt] u\,'(v) &=& sin(v) & & v\,'(x) &=& 5 \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'( \, v(x) \, ) \, \cdot \, v\,'(x) \\[4pt] &= sin( \, v(x) \, ) \cdot 5 \\[4pt] &= 5 \cdot sin(5 \,\, x) \end{aligned}

Quellen

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