Eigenwert und Eigenraum

Einleitung

Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Zu jedem Eigenwert \( \lambda_i \) gibt es Eigenvektoren \( x_i \), welche die folgende Gleichung erfüllen.

$$ (A − \lambda_i \cdot E) \cdot x_i = 0 $$

Diese Eigenvektoren bild einen Vektorraum, den sogenannten Eigenraum.

Beispiel 1

Hier wird das erste Beispiel aus dem vorherigen Kapitel fortgesetzt.

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \qquad p_A(\lambda) = (\lambda - 2) (\lambda - 1) = \lambda^2 -3 \lambda + 2 $$

Die Nullstellen des Polynoms und damit auch die Eigenwerte können in diesem Beispiel direkt abgelesen werden. Beide Eigenwerte besitzen die algebraische Vielfachheit \( 1 \), da sie einfache Nullstellen sind.

$$ \lambda_1 = 2 \qquad \lambda_2 = 1 $$

Berechnen der Eigenvektoren von \( \lambda_1 \)

$$ \begin{aligned} (A - \lambda_1 \cdot E) \cdot x &= 0 \\[6pt] ( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} − \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} ) \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} &= 0 \\[6pt] \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} &= 0 \\[6pt] \begin{matrix} & 0 & + & 0 & = & 0 \\ & -2 x_1 & - & x_2 & = & 0 \\ \Rightarrow & & & x_2 & = & -2 x_1 \end{matrix} \end{aligned} $$

Setzt man \( x_1 = 1 \), so erhält man \( x_2 = -2 \cdot 1 = -2 \) und damit hat man eine Basis des Eigenraumes gefunden. Alle Eigenvektoren sind Vielfache dieser Basis:

$$ \mathrm{Eig}(A, \lambda_1) = \mathrm{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} $$

Berechnen der Eigenvektoren von \( \lambda_2 \)

$$ \begin{aligned} (A - \lambda_2 \cdot E) \cdot x &= 0 \\[6pt] ( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} − \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ) \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} &= 0 \\[6pt] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} &= 0 \\[6pt] \begin{matrix} & x_1 & + & 0 & = & 0 \\ & -2 x_1 & + & 0 & = & 0 \\ \Rightarrow & & & x_1 & = & 0 \end{matrix} \end{aligned} $$

Setzt man \( x_2 = 1 \), so erhält man eine Basis des Eigenraumes. Alle Eigenvektoren sind Vielfache dieser Basis:

$$ \mathrm{Eig}(A, \lambda_2) = \mathrm{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$

Beispiel 2

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \qquad p_A(\lambda) = \lambda^3 -4 \lambda^2 - \lambda + 4 $$

Die Nullstellen dieses Polynoms sind nicht offensichtlich. Man kann sie jedoch durch Raten und mit Hilfe des Horner Schemas nacheinander herausfinden. Alle drei Eigenwerte besitzen die algebraische Vielfachheit \( 1 \), da sie einfache Nullstellen des Polynoms sind.

$$ \lambda_1 = 4 \qquad \lambda_2 = 1 \qquad \lambda_3 = -1 $$ $$ [\dots] $$

Quellen

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