Bellsche Zahl

Einleitung

Die Bellsche Zahl (auch Bellzahl oder Exponentialzahl) ist die Anzahl der Partitionen einer \(n\)-elementigen Menge und wurde nach dem Mathematiker Eric Temple Bell benannt.

Berechnung

Man kann zur Berechnung der Bellschen Zahl die Stirling Zahl zweiter Art verwenden. Es gilt:

$$ B(n) = \sum_{k=0}^n S(n,k) $$

Beispiel

\begin{aligned} M = &\{a,b,c\} \\[12pt] 1\text{-Partitionen:} &\{\{a,b,c\}\} \,\,\,\qquad\qquad S(3,1) = 1 \\[4pt] 2\text{-Partitionen:} &\{\{a,b\},\{c\}\} \\[4pt] &\{\{a\},\{b,c\}\} \,\,\enspace\enspace\qquad S(3,2) = 3 \\[4pt] &\{\{a,c\},\{b\}\} \\[4pt] 3\text{-Partitionen:} &\{\{a\},\{b\},\{c\}\} \,\,\qquad S(3,3) = 1 \end{aligned}
$$ B(3) = \sum_{k=0}^3 S(3,k) = 5 $$

Tabelle

In der folgenden Tabelle befinden sich die Stirling-Zahlen und die Bellschen Zahlen für \( n \leq 8 \):

\( S(1,k) \) $$ 1 $$ $$ B(1) = 1 $$
\( S(2,k) \) $$ 1 \enspace\enspace 1 $$ $$ B(2) = 2 $$
\( S(3,k) \) $$ 1 \enspace\enspace 3 \enspace\enspace 1 $$ $$ B(3) = 5 $$
\( S(4,k) \) $$ 1 \enspace\enspace 7 \enspace\enspace 6 \enspace\enspace 1 $$ $$ B(4) = 15 $$
\( S(5,k) \) $$ 1 \enspace\enspace 15 \enspace\enspace 25 \enspace\enspace 10 \enspace\enspace 1 $$ $$ B(5) = 52 $$
\( S(6,k) \) $$ 1 \enspace\enspace 31 \enspace\enspace 90 \enspace\enspace 65 \enspace\enspace 15 \enspace\enspace 1 $$ $$ B(6) = 203 $$
\( S(7,k) \) $$ 1 \enspace\enspace 63 \enspace\enspace 301 \enspace\enspace 350 \enspace\enspace 140 \enspace\enspace 21 \enspace\enspace 1 $$ $$ B(7) = 877 $$
\( S(8,k) \) $$ 1 \enspace\enspace 127 \enspace\enspace 966 \enspace\enspace 1701 \enspace\enspace 1050 \enspace\enspace 266 \enspace\enspace 28 \enspace\enspace 1 $$ $$ B(8) = 4140 $$

Quellen

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