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Kubische Funktion

Einleitung

Eine kubische Funktion ist eine ganzrationale Funktion 3.Grades mit der folgenden Form:

$$ f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d $$ \( a, b, c, d \) = Koeffizienten

Funktionsgraph

Der Graph einer kubischen Funktion ist eine kubische Parabel.

  • ?  

\( a = \) 1
\( b = \) 0
\( c = \) -1
\( d = \) -1


Nullstellen

Eine kubische Funktion hat mindestens eine und maximal drei Nullstellen. Man kann die Nullstellen mit Hilfe der Cardanischen Formeln finden. Außerdem ist das numerische Auffinden der Nullstellen mit dem Newton-Verfahren möglich.

Ableitung und Stammfunktion

Ganzrationale Funktionen lassen sich mit Hilfe der Faktor-, Summen- und Potenzregel ableiten.

\begin{aligned} f(x) &= 3 x^3 - 2 x^2 + 4 x - 5 \\[4pt] f\,'(x) & = (3 x^3)' - (2 x^2)' + (4x)' - 5' \\[4pt] &= 9 x^2 - 4 x + 4 \end{aligned}

Mit Hilfe der Integral-Regeln kann man die Stammfunktionen bestimmen.

$$ \int (3 x^3 - 2 x^2 + 4 x - 5)~dx = \frac{3}{4} x^4 - \frac{2}{3} x^3 + 2 x^2 - 5 x + c $$

Extrempunkte

Um die Extrempunkte einer kubischen Funktion zu bestimmen, benötigt man die erste und zweite Ableitung. Dann kann man folgendermaßen vorgehen.

Notwendige Bedingung

$$ f\,'(x) = 0 $$

Hinreichende Bedingung

$$ f''(x) \neq 0 $$

Besondere Eigenschaften

Symmetrie

Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

Quellen

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