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Partielle Integration

  • Partielle Integration (6:25 Minuten)
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Einleitung

Die partielle Integration ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen.

Für die partielle Integration verwendet man die folgende Regeln:

Unbestimmtes Integral
$$ \int f\,'(x)\cdot g(x)~\mathrm{d}x = f(x) \cdot g(x) - \int f(x)\cdot g\,'(x)~\mathrm{d}x $$
Bestimmtes Integral
$$ \int_a^b f\,'(x)\cdot g(x)~\mathrm{d}x = [f(x) \cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g\,'(x)~\mathrm{d}x $$

Die Produktregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der partiellen Integration.

Unbestimmtes Integral

Beispiel 1

$$ \int x \cdot \ln(x) ~ \mathrm{d}x $$
\( f\,' \) und \( g \) festlegen
$$ f\,'(x) = x \qquad g(x) = \ln(x) $$
Integrieren und Ableiten
$$ f(x) = \dfrac{1}{2} x^2 \qquad g\,'(x) = \dfrac{1}{x} $$
Einsetzen
$$ \int x\cdot\ln(x) \,\mathrm{d}x = \frac12 {x^2}\cdot\ln(x) - \int\frac12 {x^2} \cdot\frac1{x} \,\mathrm{d}x = \frac12{x^2}\cdot\ln(x) - \frac14 {x^2} + c $$

Beispiel 2

$$ \int e^x \cdot (3-x^2) ~ \mathrm{d}x $$
Bei dieser Funktion bietet es sich an \( g(x) = 3-x^2 \) zu wählen, da sich dieses nach Ableitung vereinfacht.
$$ f\,'(x) = e^x \qquad g(x) = 3-x^2 $$
Integrieren und Ableiten
$$ f(x) = e^x \qquad g\,'(x) = -2 \,\, x $$
Einsetzen
$$ \int e^x \cdot (3-x^2) ~ \mathrm{d}x = e^x \cdot (3-x^2) - \int e^x \cdot (-2 \,\, x) ~ \mathrm{d}x $$
Auf das vereinfachte Integral muss erneut partielle Integration angewendet werden:
$$ f\,'(x) = e^x \qquad g(x) = -2 \,\, x $$
Integrieren und Ableiten
$$ f(x) = e^x \qquad g\,'(x) = -2 $$
Einsetzen
\begin{aligned} \int e^x \cdot (3-x^2) ~ \mathrm{d}x &= e^x \cdot (3-x^2) + e^x \cdot 2 \,\, x - \int 2 \cdot e^x ~ \mathrm{d}x \\[4pt] &= e^x \cdot (3-x^2) + e^x \cdot 2 \,\, x - 2 \cdot e^x + c \\[4pt] &= e^x \cdot (3-x^2 + 2 \,\, x - 2) + c \\[4pt] &= e^x \cdot (-x^2 + 2 \,\, x + 1) + c \\[4pt] \end{aligned}

Quellen

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