Cramersche Regel

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Einleitung

Die cramersche Regel (auch Determinantenmethode) ist eine mathematische Formel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Die cramersche Regel wurde im Jahr 1750 von Gabriel Cramer veröffentlicht.

Voraussetzungen

  1. Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems muss quadratisch sein (d.h. es gibt genau so viele Gleichungen wie Unbekannte).
  2. Die Koeffizientenmatrix muss invertierbar sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn \( \det A \neq 0 \) ist.

Verfahren

Ein mögliches Gleichungssystem könnte folgendermaßen aussehen:

$$ \begin{matrix} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ 4 x_1 & + & 2 x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ 9 x_1 & + & 3 x_2 & + & x_3 & = & 3 \end{matrix} \qquad\qquad \underset{ A }{\underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right] }} \cdot \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right] = \underset{ b }{\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right] }} $$

Man benötigt für die Bestimmung von \( x_1 \dots x_3 \) besondere Matrizen \( A_1 \dots A_3 \), bei denen jeweils eine Spalte durch den Vektor \( b \) ersetzt wurde.

$$ A_1 = \left[\begin{array}{ccc} \color{red}{0} & 1 & 1 \\ \color{red}{1} & 2 & 1 \\ \color{red}{3} & 3 & 1 \end{array}\right] \qquad A_2 = \left[\begin{array}{ccc} 1 & \color{red}{0} & 1 \\ 4 & \color{red}{1} & 1 \\ 9 & \color{red}{3} & 1 \end{array}\right] \qquad A_3 = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \color{red}{0} \\ 4 & 2 & \color{red}{1} \\ 9 & 3 & \color{red}{3} \end{array}\right] $$

Die einzelnen Elemente des Lösungsvektors können folgendermaßen berechnet werden:

$$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$

Berechnungen:

$$ x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \dfrac{ \left| \begin{array}{ccc} \color{red}{0} & 1 & 1 \\ \color{red}{1} & 2 & 1 \\ \color{red}{3} & 3 & 1 \end{array}\right| }{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right| } = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \dfrac{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & \color{red}{0} & 1 \\ 4 & \color{red}{1} & 1 \\ 9 & \color{red}{3} & 1 \end{array}\right| }{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right| } = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2} $$ $$ x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \dfrac{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \color{red}{0} \\ 4 & 2 & \color{red}{1} \\ 9 & 3 & \color{red}{3} \end{array}\right| }{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right| } = \dfrac{0}{-2} = 0 $$

Die Lösung der Gleichung ist:

$$ x_1 = \frac{1}{2} \qquad x_2 = -\frac{1}{2} \qquad x_3 = 0 $$

Quellen

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