Quotientenregel

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Einleitung

Die Quotientenregel ist eine Ableitungsregel, die verwendet wird, wenn eine Funktion \( f \) aus einem Quotienten von Funktionen besteht. Dann gilt:

$$ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} $$
$$ f\,'(x) = \dfrac{u\,'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v\,'(x)}{ v(x)^2 } $$

Beispiele

Beispiel 1

$$ f(x) = \dfrac{x}{sin(x)} $$
\begin{array}{rclcrcl} u(x) &=& x & & v(x) &=& sin(x) \\[4pt] u\,'(x) &=& 1 & & v\,'(x) &=& cos(x) \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= \dfrac{u\,'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v\,'(x)}{ v(x)^2 } \\[4pt] &= \dfrac{1 \cdot sin(x) - x \cdot cos(x)}{ sin(x)^2 } \\[4pt] &= \dfrac{sin(x) - x \cdot cos(x)}{ sin(x)^2 } \end{aligned}

Beispiel 3

$$ f(x) = \dfrac{x^3}{x^2} $$
\begin{array}{rclcrcl} u(x) &=& x^3 & & v(x) &=& x^2 \\[4pt] u\,'(x) &=& 3 \,\, x^2 & & v\,'(x) &=& 2 \,\, x \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= \dfrac{u\,'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v\,'(x)}{ v(x)^2 } \\[4pt] &= \dfrac{3 \,\, x^2 \cdot x^2 - x^3 \cdot 2 \,\, x}{ (x^2)^2 } \\[4pt] &= \dfrac{3 \,\, x^4 - 2 \,\, x^4}{ x^4 } = \dfrac{ x^4 }{ x^4 } = 1 \end{aligned}

Beispiel 2

$$ f(x) = \dfrac{sin(x)}{cos(x)} $$
\begin{array}{rclcrcl} u(x) &=& sin(x) & & v(x) &=& cos(x) \\[4pt] u\,'(x) &=& cos(x) & & v\,'(x) &=& -sin(x) \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= \dfrac{u\,'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v\,'(x)}{ v(x)^2 } \\[4pt] &= \dfrac{cos(x) \cdot cos(x) - sin(x) \cdot -sin(x)}{ cos(x)^2 } \\[4pt] &= \dfrac{cos(x)^2 + sin(x)^2}{ cos(x)^2 } \end{aligned}

Quellen

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