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Mitternachtsformel

  • Mitternachtsformel (2:37 Minuten)
  • Mitternachtsformel, mit Herleitung (6:14 Minuten)
  • Quadratische Gleichung mit dem Taschenrechner lösen (fx-991DE Plus) (3:43 Minuten)
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Einleitung

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen der folgenden Form:

$$ a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 $$

Die Lösungen nach der Mitternachtsformel wären dann:

$$ x_{1,2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4 \,\, a \,\, c} }{2 \,\, a} $$

Eine Alternative zur Mitternachtsformel ist die p-q-Formel.

Beispiele

Die Mitternachtsformel wird z.B. benötigt, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen.


$$ f(x) = 3 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 2 = 0 $$ $$ a = 3 \qquad b = 5 \qquad c = 2 $$
\begin{aligned} x_{1,2} &= \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4 \,\, a \,\, c} }{2 \,\, a} \\ \\ x_{1,2} &= \dfrac{ -5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2} }{2 \cdot 3} \\ \\ x_{1,2} &= \dfrac{ -5 \pm \sqrt{25 - 24} }{6} \\ \\ x_{1,2} &= \dfrac{ -5 \pm \sqrt{1} }{6} \\ \end{aligned}
$$ x_1 = \dfrac{ -5 + 1 }{6} = -\dfrac{ 2 }{3} \qquad x_2 = \dfrac{ -5 - 1 }{6} = -1 $$

Herleitung

Die Mitternachtsformel lässt sich gut mit Hilfe der p-q-Formel herleiten.

\begin{aligned} \\ a \cdot x^2 + b \cdot x + c &= 0 \qquad | : a \\ \\ x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{c}{a} &= 0 \\ \\ \\ \end{aligned} $$ p = \dfrac{b}{a} \qquad q = \dfrac{c}{a} $$ \begin{aligned} \\ x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q} \\ \\ x_{1,2} = -\dfrac{b}{2 \,\, a} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{b}{2 \,\, a} \right)^2 - \dfrac{c}{a} } \\ \\ x_{1,2} = -\dfrac{b}{2 \,\, a} \pm \sqrt{ \dfrac{ b^2 - 4 \,\, a \,\, c }{4 \,\, a^2} } \\ \\ x_{1,2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4 \,\, a \,\, c} }{2 \,\, a} \\ \\ \end{aligned}

Komplexe Lösungen

Ist der Term unter der Wurzel negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Es ergeben sich damit folgende komplexe Lösungen:

$$ x_{1,2} = -\dfrac{ b }{ 2 \,\, a } \pm i \cdot \dfrac{ \sqrt{ 4 \,\, a \,\, c - b^2 } }{2 \,\, a} $$


Quellen

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