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Gauß-Jordan-Algorithmus

  • Gauß-Jordan-Algorithmus, Lineare Gleichungssysteme lösen (6:41 Minuten)
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Einleitung

Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein mathematischer Algorithmus, mit dem sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems berechnen lässt.

Der Algorithmus ist eine Erweiterung des gaußschen Eliminationsverfahrens, bei dem in einem zusätzlichen Schritt das Gleichungssystem auf die reduzierte Stufenform gebracht wird. Dann lässt sich dann die Lösung direkt ablesen.

Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist nach Carl Friedrich Gauß und Wilhelm Jordan benannt.

Eine alternative Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ist die Cramersche Regel.

Das Verfahren

Man kann ein lineares Gleichungsystem in einer Matrix darstellen, indem man die Koeffizienten der einzelnen Gleichungen in eine Matrix schreibt.

$$ \begin{matrix} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ 4 x_1 & + & 2 x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ 9 x_1 & + & 3 x_2 & + & x_3 & = & 3 \end{matrix} \qquad\qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right] $$

Die Matrix wird auch Koeffizientenmatrix genannt. Man kann sie durch elementare Zeilenumformungen auf reduzierte Stufenform bringt. Zur besseren Übersicht werden Einträge der Matrix die gleich null sind Leer dargestellt.

$$ \begin{aligned} \left[\begin{array}{ccc|c} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    |    \rm II - 4 \cdot I \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|c} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ & -2 & -3 & 1 \\ 9 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    | \\    |    \rm III - 9 \cdot I \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|c} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ & -2 & -3 & 1 \\ & -6 & -8 & 3 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    | \\    |    \rm III - 3 \cdot II \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|c} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ & -2 & -3 & 1 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    |    \rm : (-2) \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|c} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ & 1 & 3/2 & -1/2 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    |    \rm I - 1 \cdot III \\    |    \rm II - 3/2 \cdot III \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|c} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & 1 & & 0 \\ & 1 & & -1/2 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    |    \rm I - 1 \cdot II \\    | \\    | \end{array} \\ \left[\begin{array}{ccc|c} \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ 1 & & & 1/2 \\ & 1 & & -1/2 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right] & \begin{array}{l}    | \\    | \\    | \end{array} \end{aligned} $$

Schließlich befindet sich auf der linken Seite der Matrix die Einheitsmatrix. Die Lösung der Gleichung kann dann von der rechten Seite abgelesen werden:

$$ x_1 = \frac{1}{2} \qquad x_2 = -\frac{1}{2} \qquad x_3 = 0 $$

Weitere Anwendungen

Der Gauß-Jordan-Algorithmus kann auch zur Bestimmung der Inversen Matrix benutzt werden.


Quellen

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