Partition

Einleitung

In der Mengenlehre ist eine Partition (auch Zerlegung oder Klasseneinteilung) einer Menge \( M \) eine Menge \( P \), deren Elemente nichtleere, disjunkte Teilmengen von \( M \) sind, so dass jedes Element von \( M \) in genau einem Element von \( P \) enthalten ist.

Beispiele

leere Menge

$$ M = \{\} \qquad \text{Partitionen:} \,\, \{\} $$

1-elementige Menge

$$ M = \{a\} \qquad \text{Partitionen:} \,\, \{\{a\}\} $$

2-elementige Menge

$$ M = \{a,b\} \qquad \text{Partitionen:} \,\, \{\{a,b\}\} \,\, \text{und} \,\, \{\{a\},\{b\}\} $$

3-elementige Menge

\begin{aligned} M = &\{a,b,c\} \\[4pt] \text{Partitionen:} &\{\{a,b,c\}\} \\[4pt] &\{\{a,b\},\{c\}\} \\[4pt] &\{\{a\},\{b,c\}\} \\[4pt] &\{\{a,c\},\{b\}\} \\[4pt] &\{\{a\},\{b\},\{c\}\} \end{aligned}

Anzahl der Partitionen

Die Anzahl \( B_n \) der möglichen Partitionen einer \(n\)-elementigen Menge nennt man Bellsche Zahl. Die ersten Bellzahlen sind

$$ B_0 = 1, \quad B_1 = 1, \quad B_2 = 2, \quad B_3 = 5, \quad B_4 = 15, \quad B_5 = 52, \quad B_6 = 203, \quad\ldots $$

\(k\)-Partition

Eine \(k\)-Partition einer Menge \( M \) ist eine Partition mit der Mächtigkeit \( k \).

Beispiele

\begin{aligned} M = &\{a,b,c\} \\[4pt] 1\text{-Partitionen:} &\{\{a,b,c\}\} \\[4pt] 2\text{-Partitionen:} &\{\{a,b\},\{c\}\} \\[4pt] &\{\{a\},\{b,c\}\} \\[4pt] &\{\{a,c\},\{b\}\} \\[4pt] 3\text{-Partitionen:} &\{\{a\},\{b\},\{c\}\} \end{aligned}

Partition von \( n \)

Eine Partition von \( n \) ist eine Partition der Menge \( \underline n = \{ 1, \dots, n \} \).

Beispiele

\begin{aligned} \text{Partitionen von 1:} &\{\{1\}\} \\[8pt] \text{Partitionen von 2:} &\{\{1,2\}\} \\[4pt] &\{\{1\},\{2\}\} \\[8pt] \text{Partitionen von 3:} &\{\{1,2,3\}\} \\[4pt] &\{\{1,2\},\{3\}\} \\[4pt] &\{\{1\},\{2,3\}\} \\[4pt] &\{\{1,3\},\{2\}\} \\[4pt] &\{\{1\},\{2\},\{3\}\} \end{aligned}

\(k\)-Partition von \( n \)

Eine \(k\)-Partition von \( n \) ist eine Partition der Menge \( \underline n = \{ 1, \dots, n \} \) mit der Mächtigkeit \( k \).

Beispiele

\begin{aligned} 1\text{-Partitionen von 3:} &\{\{1,2,3\}\} \\[4pt] 2\text{-Partitionen von 3:} &\{\{1,2\},\{3\}\} \\[4pt] &\{\{1\},\{2,3\}\} \\[4pt] &\{\{1,3\},\{2\}\} \\[4pt] 3\text{-Partitionen von 3:} &\{\{1\},\{2\},\{3\}\} \end{aligned}

Quellen

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