Binomische Formeln

  • Binomische Formeln, Herleitung (7:35 Minuten)
  • Binomische Formeln, Herleitung, Beispiele (5:18 Minuten)
  • Binomische Formeln, höhere Potenzen (3:12 Minuten)
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Einleitung

Als binomische Formeln werden die folgenden drei Umformungen bezeichnet:

\( (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \) erste Binomische Formel
\( (a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \) zweite Binomische Formel
\( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \) dritte Binomische Formel

Herleitung

Die Formeln können durch ausmultiplizieren bewiesen werden.

Erste binomische Formel

\begin{aligned} (a+b)^2 &= (a+b)\cdot(a+b) \\[4pt] &= a \cdot a+a \cdot b+b \cdot a+b \cdot b \\[4pt] &= a^2+2 \cdot a \cdot b+b^2 \end{aligned}

Zweite binomische Formel

\begin{aligned} (a-b)^2 &= (a-b)\cdot(a-b) \\[4pt] &= a \cdot a-a \cdot b-b \cdot a+b \cdot b \\[4pt] &= a^2-2 \cdot a \cdot b+b^2 \end{aligned}

Dritte binomische Formel

\begin{aligned} (a+b) \cdot (a-b) &= a \cdot a -a \cdot b +a \cdot b -b \cdot b \\[4pt] &= a \cdot a \cancel{-a \cdot b} \cancel{+a \cdot b} -b \cdot b \\[4pt] &= a^2-b^2 \end{aligned}

Binomischer Lehrsatz

Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, man erhält den binomischen Lehrsatz:

$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}~\binom{n}{k} a^{n-k} \cdot b^k \qquad n \in \mathbb{N} $$

Binomischer Lehrsatz für \( n = 2 \)

\begin{aligned} (a+b)^2 &= \binom 2 0 a^2 b^0 + \binom 2 1 a^1 b^1 + \binom 2 2 a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\[4pt] (a-b)^2 &= \binom 2 0 a^2 (-b)^0 + \binom 2 1 a^1 (-b)^1 + \binom 2 2 a^0 (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \end{aligned}

Binomischer Lehrsatz für weitere \( n \)

\begin{aligned} (a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3 a^2 b + 3 a b^2 \pm b^3 \\[4pt] (a \pm b)^4 &= a^4 \pm 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 \pm 4 a b^3 + b^4 \\[4pt] (a \pm b)^5 &= a^5 \pm 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 \pm 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 \pm b^5 \end{aligned}

Quellen

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