Addition, Subtraktion und Multiplikation

  • Matrix, Addieren und Subtrahieren (1:18 Minuten)
  • Matrix, Multiplikation (6:36 Minuten)
  • Matrix, Multiplikation, Falksches Schema (3:17 Minuten)
  • Matrix, Addieren und Subtrahieren, Taschenrechner (fx-991DE Plus) (3:40 Minuten)
  • Matrix, Multiplikation, Taschenrechner (fx-991DE Plus) (3:17 Minuten)
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Einleitung

Beim Rechnen mit Matrizen muss man einige Besonderheiten beachten. Im folgenden wird die Addition, Subtraktion und Multiplikation zwischen Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar beschrieben.

Addition und Subtraktion

Bei der Addition und Subtraktion werden die Matrizen komponentenweise addiert bzw. subtrahiert.

Addition


$$ \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 6+0 \\ 3+(-2) & -4+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} $$

Subtraktion


$$ \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-5 & 6-0 \\ 3-(-2) & -4-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 6 \\ 5 & -13 \end{bmatrix} $$

Die Addition und Subtraktion von Matrizen sind kommutativ und assoziativ.

Skalarmultiplikation

Bei der Multiplikation mit einem Skalar wird jede Komponente der Matrix mit diesem multipliziert.

$$ 5 \cdot \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 5 & 5 \cdot 0 \\ 5 \cdot (-2) & 5 \cdot 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 0 \\ -10 & 45 \end{bmatrix} $$

Die Skalarmultiplikation ist kommutativ und assoziativ.

Matrizenmultiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen ( \( A \cdot B \) ) ist nur möglich, wenn gilt:

Spaltenanzahl von \( A \) = Zeilenanzahl von \( B \)

Das Ergebnis ist dann das Skalarprodukt der Zeilenvektoren von \( A \) mit den Spaltenvektoren von \( B \).

Die folgenden Beispielrechnungen nutzen das Falksche Schema:


Beispiel 1




Beispiel 2



Wie man an den obigen Beispielen sehen kann, ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ. D.h. \( A \cdot B \) ist nicht immer gleich \( B \cdot A \).

Die Matrixmultiplikation ist assoziativ. D.h. \( A \cdot ( B \cdot C ) = ( A \cdot B ) \cdot C \).


Quellen

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