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Übungsaufgabe: Ungleichung

Dies ist eine Aufgabe zum Thema Vollständige Induktion.

    Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 1 \) gilt:

    $$ 2^{n+1} \lt 1 + (n+1) \cdot 2^n \qquad (\ast) $$

    Benutzen Sie vollständige Induktion.

    Lösung

    Induktionsanfang:   \( n = 1 \)

    $$ 2^{1+1} = 2^2 = 4 \lt 5 = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + (1+1) \cdot 2^1 $$

    Induktionsannahme:   \( (\ast) \) gilt bis zu einem gewissen \( n \in \mathbb{N} \)


    Induktionsschlusss:   \( n = n+1 \)

    \begin{aligned} 2^{n+1+1} &= 2^{n+1} \cdot 2 \\[4pt] &\lt (1 + (n+1) \cdot 2^n) \cdot 2 \\[4pt] &= 2 + (n+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] &= 1 + 1 + (n+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] &\lt 2^{n+1} + 1 + (n+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] &= 1 + (n+1+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] \end{aligned}