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Übungsaufgabe: Summenwerte

Dies ist eine Aufgabe zum Thema Vollständige Induktion.

    Seien \( a \) und \( r \neq 1 \) reelle Zahlen. Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 0 \) gilt:

    $$ a + a \,\, r + a \,\, r^2 + \dots + a \,\, r^n = \dfrac{a \,\, (r^{n+1}-1)}{r-1} \qquad (\ast) $$

    Vollständige Induktion benutzen.

    Lösung

    Man kann die linke Seite der Gleichung auch mit dem Summenzeichen schreiben:

    $$ \sum_{i=0}^n{a \,\, r^i} = \dfrac{a \,\, (r^{n+1}-1)}{r-1} $$

    Induktionsanfang:   \( n = 0 \)

    $$ a \cdot r^0 = a = \dfrac{a \,\, (r-1)}{r-1} = \dfrac{a \,\, (r^{0+1}-1)}{r-1} $$

    Induktionsannahme:   \( (\ast) \) gilt bis zu einem gewissen \( n \in \mathbb{N}_0 \)


    Induktionsschlusss:   \( n = n+1 \)

    \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n+1}{a \,\, r^i} &= \sum_{i=0}^{n}{a \,\, r^i} + a \,\, r^{n+1} \\[4pt] &= \dfrac{a \,\, (r^{n+1}-1)}{r-1} + a \,\, r^{n+1} \\[4pt] &= \dfrac{a \,\, (r^{n+1}-1)}{r-1} + \dfrac{a \cdot r^{n+1} \cdot (r-1)}{r-1} \\[4pt] &= \dfrac{a \,\, (r^{n+1}-1)}{r-1} + \dfrac{a \cdot r^{n+1+1} - r^{n+1}}{r-1} \\[4pt] &= \dfrac{a \,\, (r^{n+1}-1) + a \cdot r^{n+1+1} - r^{n+1}}{r-1} \\[4pt] &= \dfrac{a \cdot ( \cancel{r^{n+1}} - 1 + r^{n+1+1} \cancel{- r^{n+1}}) }{r-1} \\[4pt] &= \dfrac{a \cdot (r^{n+1+1}-1) }{r-1} \\[4pt] \end{aligned}